上一篇中我们介绍了中国西晋时期地图学家裴秀所研制出的第一个系统的制图理论——制图六体：一为”分率”；二为”准望”； 三为”道里”； 四为”高下”； 五为”方邪”； 六为”迂直”。纸上谈来终觉浅，这一篇里，我们将用实例展现数学和物理学在制图六体中的应用，大家也就明白裴秀和他的制图六体为何被后世赞誉了。

坐标系统与计里画方

古人的面积概念来源于《周礼·地官》： “大司徒之职，掌建邦之土地之图与其人民之数，以佐王安扰邦国，以天下之土地之图，周知九州之地域广轮之数。”东西为广，南北为轮，因此广轮之数指的就是面积大小。

根据文献的记载，“井田制”出现于中国商周时期，指的是用界线和水渠将一整块耕地划分成九块固定面积的方田，像一个井字，外圈的8块田由8户百姓分别耕种，谓之私田，私田收成全部归耕户所有；正中一块由8户共同耕种，谓之公田，收入归封邑贵族所有。这里的“井”和“田”都说明古人已知用坐标界线来分割面积的思想。

在绘制地图时，光有面积和分割面积的意识还不够，要知道，如果想在地图中描述或者确定一个位置，就需要一个平面直角坐标系统。

现代人觉得横轴X、纵轴Y是常识，古人如何去建立他们的XY呢？或许人们从曾经把地图绘在丝织品上找到灵感，纺织的经线和纬线（这个与现代经纬线代表的正好相反，“经”代表纬线，“纬”代表经线，唐代时才与现代统一）让人们认识到，当一根经线与一根纬线相交时，那个相交位置可以在这个平面上被固定下来，“X、Y”就这样被找到了。

综合以上的经验，裴秀发现，如果绘图时先在图上布满面积相同的正方形方格，用方格的边长代表一定的实地长度，然后按方格绘制地图内容，会使得精确度会大大提升，这就是他提出的“计里画方”，简单的四个字中包含着坐标系统、相交定点、比例尺应用和面积测量。

四方定向

画地图离不开对方向的确定。中国最古老的天文学和数学著作《周髀算经》写道：“以日始出，立表而识其晷，日入复识其晷，晷之两端相直者正东西也。”又曰：“（东西线）中折之指表者，正南北也。”

意思是把地面整理成水平，将日晷垂直固定于地面；以表为圆心，在地面画一个圆；日出时在表影与圆相交的点作标记，日落时又在表影与圆相交的另一点作标记，用直线连接这两个点，连线就是正东西的方向；再将这条直线的中点与表 (圆心) 相连，连线就是正南北的方向。

这是公元前1世纪中国人确定东西南北的方法，后来又出现了专用的测向工具司南和磁针，裴秀应当也会用这些方法来定方向。

标准四方向确定了，测物的方位如何确定呢？这就需要借助规（画圆的）、矩（画方的）、准（测水平的）、绳（量竖直的）以及绳尺的帮助。

比如已知地图上A、B两点的位置和距离，想要把C点画在图上，现在已知AC和BC的长度及C在AB的大致方位（东西南北），那么怎么确定C的具体位置呢？分别以A、B为圆心，AC、BC为半径画圆，相交点即是（需结合C在AB的大致方位）

数学知识在测距时的应用

当测量两实地点A、B之间有高低曲折的情况时，在地图上要取两点之间的直线距离，以下三图分别代表高取下、方取斜和曲取直。

什么意思呢？假如A在平面，B在高处，显示AB在地图上的位置时，需要测量AB的水平直线距离；而测量AB的实际距离可以先在地图上测量后用勾股定律算出，再进一步通过比例尺反推；即便在实地上从A到B，受地形影响需要走很多弯路，但在地图上显示AB时，还是得依照他们之间的直线距离。

如果测量时，测量人自己所处的位置与目标点之间不便直接量距离又该怎么办呢？古人也考虑过这样的情况，如“有木（P）去人不之远近，立四表（A、B、C、D），相去各一丈，令左两表与所望参相直。从后表望之，入右表三寸，问木去人几何？（《九章算术·勾股》）也就是说，ABCD为正方形，BC=CD=100寸，ED=3寸，求BP距离。利用相似三角形原理可以得出BP=CD*BC/ED

整套地图的绘制过程中，有太多不同科学知识的组合应用，在此无法一一举出。要知道，裴秀就是这样站在前人的肩膀上，再加上自己的发明创造，把西晋十六州拆成一个个小地块逐一测量，再拼接整理，从而得到最后的禹贡地域图，给后世带来深远的影响。

这套当世最先进的地图是不是毫无瑕疵呢？也不是，受天圆地方的思想影响，裴秀没能考虑大地有曲度、地表并非绝对水平的事实，所以难免会出现形变。那么。中国地图什么时候开始提现地球是个球体？什么时候开始出现投影法？西方地理学家和航海家如何后来居上？这些我们在后面接着再说。