质数是一个大于1的整数，它的因数只有1和它自己。因数是能被另一个数整除的整数。最开始的几个素数是2、3、5、7、11、13、17、19、23和29。有两个以上因数的数称为合数。

几千年以来，质数一直吸引着数学家。今天我们仍然使用一种简单的方法来判断一个给定的数字是否是质数，这就是埃拉托色尼的筛子。埃拉托色尼是一位希腊数学家，因在公元前240年测量了地球半径而闻名。找出所有小于或等于给定整数n的质数：

1. 创建一个从2到n的连续整数列表：（2，3，4，…，n）。

2. 设p = 2，最小的质数。

3. 通过计算从2p到n的增量来枚举p的倍数，并将它们标记在列表中（这些将是2p，3p， 4p，…)。

4. 在没有被标记的数列中，找出第一个比p大的数。如果没有这样的数，停止。否则，让p等于这个新数字（下一个素数），从步骤3开始重复。

当算法结束时，列表中未标记的数字都是小于n的质数。在接下来的几个世纪里，人们对这类数字的兴趣并没有下降。1640年皮埃尔·德·费马提出了费马小定理（不要和费马最后定理混淆）：

如果p是一个素数，且a是任何不能被p整除的整数，那么a^(p−1)−1能被p整除。

莱昂哈德·欧拉在1736年发表了第一个证明，但戈特菲尔德·莱布尼茨在一份未发表的手稿中给出了基本相同的证明（比欧拉早了50年）。1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫给欧拉写了一封信，提出了以下猜想：

每一个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和

迄今为止，哥德巴赫的猜想仍未得到证实。

质数有许多奇怪的性质，其中一个是孪生质数（素数）猜想，孪生素数是差为2的素数 对，如11和13是一对孪生素数。

有多少质数？

一个相关的问题是，给定的一个数字，共有多少个小于它的质数。质数计数函数π(N)定义为不大于N的质数的个数。例如，π(10)= 4，因为有四个质数小于或等于10（2、3、5和7）。直觉上，数字越大，质数就越不常见，但这种情况发生的速度并不明显。这个思想在素数定理中得到了形式化的表述。首先，我们注意到，对于足够大的N，一个不大于N的随机整数是质数的概率非常接近1 / log(N)。这个定理说明当N趋于无穷时，π(N)等于N/log(N)然而，多年来人们发现另一个称为对数积分函数Li(N)的函数更接近π(N)。

通过外推π(N)和其他两个函数的区别，我们可以看到它们都在无穷远处收敛于π(N)，但是Li(N)收敛得更快。

黎曼假设（猜想）

德国数学家伯恩哈德·黎曼主要研究非欧几里德空间的几何，他在这一领域奠定了爱因斯坦广义相对论的数学基础。尽管如此，他也因一个至今仍未被证实的猜想而闻名。事实上，他唯一的一篇关于数论的论文也可能是该领域有史以来最重要的一篇！在这项研究中，黎曼发现了计算N以下质数数目的精确公式，即π(N)，其表达式为：

函数ζ(s)是一个复函数，通常被称为黎曼ζ函数。黎曼假设指出，ζ(s)的零点（即使ζ(s)为0的数s）要么为负偶数，要么为实部等于1/2的复数。黎曼发现π(N)的精确表达式涉及ζ函数的根。黎曼猜想是希尔伯特23个问题的一部分，它的证明仍然有待考证！

在20世纪70年代，一些物理学家，如弗里曼·戴森和休·洛厄尔蒙哥马利推测ζ(s)的零点可能在量子力学中扮演某种角色。素子气体是量子场论的一个例子，它是一组非相互作用的粒子，其状态依赖于素数。可以证明描述系统能量的哈密顿函数与黎曼ζ函数有关。从某种意义上说，大自然可能已经找到了一种方法来证明黎曼假说！

素数交叉

德国化学家彼得·普里赫塔写的《上帝的秘密公式：破译宇宙之谜和质数密码》，包含了一些多年来一直困扰着我的东西。他将自然数排列成同心圆，每个圆由24个数字组成。

总体思路是，除了第一个环上的两个例外（2和3），所有其他素数都在圆的8个半径上，但不是所有这8个半径上的数字都是素数。通过“1”的半径包含大于5的质数的平方，如5*5=25，7*7=49，11*11=121，13*13=169，17*17=289等等。

作者推测，这种分布类似于马耳他十字，

马耳他十字是一个十字符号，由四个箭头形状的凹四边形组成。由16世纪早期的八角十字发展而来。主要与医院骑士团（圣约翰骑士团，现为马耳他主权军事骑士团）联系在一起，延伸到马耳他岛，自近代早期以来，它已被许多实体所使用，特别是圣斯蒂芬骑士团、阿马尔菲市、波兰白鹰骑士团和普鲁士骑士团。

这一观察结果可能表明，医院骑士团可能很久以前就知道了这一点。此外，他坚持认为这种几何布局在核物理中可能有更深层次的含义，我认为这种说法完全是无稽之谈。

总而言之，质数的研究是非常吸引人的，我不清楚破解质数的密码是否真的会让我们对数学有一个更清晰的理解，质数交叉是否可以用于进一步研究上面讨论的一些未解猜想。