古代历法的计算中，涉及到圆弧，是转化为线段距离来做，其中方法称作“割圆术”。
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。“圆，一中同长也”。意思是说：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。早在我国先秦时期，《墨经》上就已经给出了圆的这个定义，而公元前11世纪，我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系。认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积。我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们所熟悉的公式。
为了证明这个公式，我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇1800余字的注记，这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”。
数学意义：“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而来求得较为精确的圆周率。
刘徽发明“割圆术”是为求“圆周率”。那么圆周率究竟是指什么呢？它其实就是指“圆周长与该圆直径的比率”。很幸运，这是个不变的“常数”！我们人类借助它可以进行关于圆和球体的各种计算。如果没有它，那么我们对圆和球体等将束手无策。同样，圆周率数值的“准确性”，也直接关乎到我们有关计算的准确性和精确度。这就是人类为什么要求圆周率，而且要求得准的原因。
根据“圆周长/圆直径=圆周率”，那么圆周长=圆直径*圆周率=2*半径*圆周率（这就是我们熟悉的圆周长=2πr的来由）。因此“圆周长公式”根本就不用背的，只要有小学知识，知道“圆周率的含义”，就可自行推导计算。也许大家都知道“圆周率和π”，但它的“含义及作用”往往被忽略，这也就是割圆术的意义所在。
中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为3：1）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。
割圆术与微积分
割圆术基本思想如下：
1. 内接多边形和外切多边形：
– 将圆内接一个正多边形，并计算其周长。随着多边形边数的增加，内接多边形的周长会越来越接近圆的周长。
– 同样，将圆外切一个正多边形，并计算其周长。随着多边形边数的增加，外切多边形的周长也会越来越接近圆的周长。
2. 迭代逼近：
– 不断增加多边形的边数，并重复上述步骤，逐步逼近圆的周长，从而得到更精确的圆周率值。
微积分由牛顿和莱布尼茨在17世纪末独立发展起来，分为微分和积分两部分：
1. 微分：研究函数变化率的数学工具，用于描述曲线的斜率和变化速率。
2. 积分：研究累积量的数学工具，用于计算面积、体积和累积变化。
割圆术与微积分的关系
割圆术与微积分之间的关系主要体现在以下几个方面：
1. 逼近方法
– 割圆术通过增加多边形的边数来逼近圆周长，这种方法实际上是现代微积分中逼近极限的一种具体表现。割圆术中的迭代逼近思想与积分中用无限小的矩形来逼近曲线下面积的思想非常相似。
2. 极限思想
– 割圆术隐含了极限的思想，即通过增加多边形的边数，使得内接和外切多边形的周长无限接近圆的周长。这与微积分中极限的概念是一致的，微积分通过研究函数在某一点处的极限，来分析其变化趋势和累积效果。
3. 历史发展
– 割圆术是古代数学家在求解圆周率问题上迈出的重要一步，为后来的数学发展奠定了基础。虽然割圆术本身并不是微积分，但它展示了早期数学家在处理无限小量和逼近问题上的尝试，这些思想在微积分的发展中得到了进一步的完善和系统化。
4. 几何与分析的结合
– 割圆术主要通过几何方法来解决问题，而微积分将几何与分析结合起来，提供了一种更加广泛和强大的工具来处理变化和累积的问题。
